Progressões Aritméticas - Parte II

As progressões são sequências numéricas com propriedades matemáticas. Isso já foi dito na Parte I dessa publicação. O que será visto agora é a relação entre dois termos de uma PA e como resolver problemas relacionados a este tema. Como sempre, esse tópico será abordado e apresentado em forma de exercícios resolvidos e uma prática no final.

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Concurseiro

Consideremos dois termos de uma mesma PA, como por exemplo a5 e a8. Suas posições são dadas pelos índices 5 e 8. Um é o quinto termo e o outro é o oitavo termo. A diferença entre esses índices é 3, pois a5 está 3 posições atrás de a8 .

Numa PA, a diferença entre dois termos consecutivos é igual  a razão. Um exercício envolvendo esse raciocínio foi apresentado na publicação anterior.

No exemplo atual, a diferença entre o termo mais avançado e o outro é de 3 razões, ou 3d.

a8 - a5 = 3d

Fórmula da relação entre dois termos de uma PA

a_n - a_m = (n - m)d

Exemplo

Relacione dois termos de uma PA, considerando que um seja o segundo termo e o outro o décimo termo.

O enunciado diz que devemos trabalhar com dois termos dessa PA, a2 e a10 .

As variáveis da fórmula são:

a_n, a_m, n, m, d

Onde:

a_n = a10
a_m = a2
n = 10
m = 2

Ficando assim:

a10 - a2 = (10 - 2)d

Ou seja:

a10 - a2 = 8d

Desse jeito conseguimos relacionar o segundo ao décimo termo da PA.

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Exemplo

O sexto termo de uma PA é 70 e o décimo é 114. Qual a razão da PA?

Sabemos que:

a6 = 70
a10 = 114

Então substituímos na fórmula.

a_n - a_m = (n - m)d

a10 - a6 = (10 - 6)d
a10 - a6 = 4d

Obtivemos outra fórmula.

 a10 - a6 = 4d

É só substituir pelos valores que conhecemos.

a10 - a6 = 4d
144 - 70 = 4d
44 = 4d

d = ⁴⁴/₄
d = 11


Resposta:

A razão dessa PA é 11.

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Exemplo

Numa PA, o 13º termo é 29 e o 25º termo é 53. Calcule o valor do terceiro termo da PA.

Os dados que temos são:

a13 = 29
a25 = 53
a3 = ?
d = ?

Não sabemos qual é a razão. Vamos encontrá-la primeiro relacionando os termos dados.

a_n - a_m = (n - m)d

a25 - a13 = (25 - 13)d
a25 - a13 = 12d

Vamos substituir os valores pelos que já conhecemos:

a25 - a13 = 12d

53 - 29 = 12d
24 = 12d
d = ²⁴₁₂
d = 2

Agora que já sabemos que a razão dessa PA é 2, vamos relacionar um dos termos conhecidos, a13 ou a25 com o termo que procuramos, que no caso é a3.

a_n - a_m = (n - m)d

a13 - a3 = (13 - 3)d
a13 - a3 = 10d

29 - a3 = 10*2
29 - a3 = 20
29 - 20 = a3
9 = a3

Achamos a3 relacionando com o 13º termo dessa PA. Se fizéssemos com o 25º termo encontraríamos a resposta também. Veja:

a_n - a_m = (n - m)d

a25 - a3 = (25 - 3)d
a25 - a3 = 22d

53 - a3 = 22*2
53 - a3 =44
53 - 44 = a3
9 = a3

Resposta:

O 13º termo dessa PA é 9.

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Por enquanto faça os exercícios abaixo. A próxima publicação será sobre PG e mais tarde voltaremos a ver mais exemplos com exercícios de PA para destrinchar esse assunto de uma vez.

 Exercícios

1) O primeiro termo de uma PA é 2 e o quinto é 16. Calcule a Razão dessa PA e escreva seus 5 primeiros termos.

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2) O terceiro termo de uma PA é 22 e o oitavo é 52. Calcule o vigésimo termo.

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3) Num certo país, o primeiro presidente iniciou o seu mandato em 1870 e governou por 6 anos assim como seus sucessores. Em qual governo encontra-se atualmente esse país?

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Respostas

Exercício 1

Vamos separar os dados que o enunciado nos deu:

a1 = 2
a5 = 16
d = ?

A primeira coisa pedida é que se calcule a razão.

a_n - a_m = (n - m)d

a5 - a1 = (5 - 1)d
a5 - a1 = 4d
16 - 2 = 4d
14 = 4d
d = ¹⁴/₄
d = 3,5

A razão dessa PA é 3,5. Agora ficou fácil escrever os 5 primeiros termos.

a1 + d = a2
2 + 3,5 = a2
5,5 = a2

a2 + d = a3
5,5 + 3,5 = a3
9 = a3

a3 + d = a4
9 + 3,5 = a4
12,5 = a4

Resposta:

A razão dessa PA é 3,5 e seus 5 primeiros termos são: 2; 5,5; 9; 12,5 e 16.

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Exercício 2

A primeira coisa é sempre separar os dados que o enunciado dá para podermos organizar as idéias.

a3 = 22
a8 = 52
a20 = ?
d = ?

Vamos relacionar os termos conhecidos para acharmos a Razão da PA.

a_n - a_m = (n - m)d

a8 - a3 = (8 - 3)d
a8 - a3  = 5d
52 - 22 = 5d
30 = 5d
d = ³⁰/₅
d = 6

Agora que já sabemos que a razão dessa PA é 6, vamos relacionar um dos termos conhecidos, a3 ou a8 com o termo que procuramos, que no caso é a20.

a_n - a_m = (n - m)d

a20 - a3 = (20 - 3)d
a20 - a3 = 17d
a20 - 22 = 17*6
a20 - 22 = 102
a20 = 102 + 22
a20 = 124

Não é necessário fazer com a8, nós já achamos a resposta. No entanto eu farei como exemplo de que o resultado será o mesmo.

a_n - a_m = (n - m)d

a20 - a8 = (20 - 8)d
a20 - a8 = 12d

a20 - 52 = 12*6
a20 - 52 =72
a20 = 72 + 52
a20 = 124

Resposta:

O vigésimo termo dessa PA é 124.

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Exercício 3

Vamos analisar o enunciado:

"o primeiro presidente iniciou o seu mandato em 1870"

Isso quer dizer que:

a1 = 1870

"governou por 6 anos assim como seus sucessores"

d = 6

Pois há mudança de governante a cada 6 anos.

"Em qual governo encontra-se atualmente esse país?"

Bom, nesse caso responderei com base no ano em que foi feita essa publicação, ou seja, 2011.

an = 2011

Porque an = 2011? Lembra da publicação anterior sobre PA? Lá eu mostro a fórmula do Termo Geral em que "an" representa o último termo de uma PA.

É essa fórmula que iremos usar.

an = a1 + (n – 1) . r

Lembre-se de que r ou d representam a Razão em uma PA.

2011 = 1870 + (n - 1).6
2011 - 1870 = (n - 1).6
141 = (n - 1).6
141 = 6n - 6
141 + 6 = 6n
147 = 6n
n = ¹⁴⁸/₆
n = 24,5

Esse país encontra-se atualmente em meio ao mandato do 24º presidente.

Resposta:

Encontra-se no 24º governo.

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Progressões Aritméticas - Parte I

As progressões são sequências numéricas com propriedades matemáticas. No caso da progressão aritmética, chamada comumente de PA, será uma sequência de números onde cada termo (exceto o primeiro) é resultado da soma do termo anterior com uma constante chamada de razão. Sempre que se tenta explicar algo em matemática parece que fica meio vago e é por isso que veremos exemplos que deixarão claro o que foi dito acima.

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Concurseiro

Veja por exemplo a sequência abaixo:

PA = {3, 6, 9, 12, 15}

Nessa PA a constante, que é chamada de razão da PA, é 3.

Eu sei disso porque, como diz o enunciado, uma PA é uma sequência de números onde cada termo, exceto o primeiro, é resultado da soma do termo anterior com uma constante chamada razão.

Para saber qual é a razão dessa PA basta usar a lógica. A operação inversa a soma é a subtração e em certo trecho diz que "cada termo, exceto o primeiro, é resultado da soma do termo anterior", se eu pegar o último termo na PA e subtrair do termo anterior irei achar a razão.

15 - 12 = 3

Se eu pegar o penúltimo termo e subtrair com o termo anterior irei achar a razão.

12 - 9 = 3

Se eu pegar o antepenúltimo termo e subtrair do termo anterior irei achar a razão.

9 - 6 = 3

E assim por diante.

Tipos de PA

Existem 3 tipos:

Crescente

PA={ 1, 4, 7, 10, 13, 16}
Razão = 3

Decrescente

PA={ 7, 4, 1, -2, -5, -8}
Razão = -3

Constante

PA= (45, 45, 45, 45, 45}
Razão = 0

Fórmula do Termo Geral

an = a1 + (n – 1) . r

Essa fórmula serve para acharmos o enésimo termo em uma PA.

Enésimo é palavra derivada de "n", uma variável que pode assumir qualquer valor desejado. Na matemática usa-se o termo "n" para representar algo que pode assumir qualquer valor dentro de um universo.

Como ler a fórmula?

an é o último termo da PA
a1 é o primeiro termo de uma PA
n é o número total de termos em uma PA
r é razão de uma PA

Por exemplo:

PA = {3, 5, 7, 9}

an = 9
a1 = 3
n = 4
r = 2

Uma PA também poderia ser representada assim:

PA = {a1, a2, a3, a4}

Onde, nesse caso:

a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
a4 = 9

Vamos a um exemplo prático envolvendo problemas.

Exemplo

Numa PA de 7 termos, o primeiro termo é 6 e o segundo é 10. Qual é o último termo dessa PA?

A primeira coisa, como sempre, é separar os dados importantes do problema. Sabemos que serão 7 termos no total, então:

n = 7

O enunciado diz que o primeiro termo é 6:

a1 = 6

E o segundo termo é 10:

a2 = 10

Esse segundo termo da PA será importante para acharmos a razão.

A razão é a diferença entres os termos da PA, e muitas vezes identificada pela letra "d", justamente por tratar-se da diferença entre os termos.

Portanto:

a2 - a1 = r
10 - 6 = 4
 
 r = 4

Montamos então a fórmula:

an = a1 + (n - 1).r

Substituindo os valores:

an = 6 + (7  - 1).4

Ficou fácil, é só resolver:

an = 6 + 24
an = 30

Resposta:

O último termo dessa PA é 30

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Essa é a primeira parte sobre progressões ariméticas, uma introdução para relembrar o básico. Haverão outras publicações e obviamente a tendência é sair desse nível infantil para um nível de vestibular. Por hora, faça os exercícios abaixo.

Exercícios

1) Numa PA de 5 termos, o último termo é -20 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PA.

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2) Numa PA temos a4 = 183 e a5 = 200. Calcule d.

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3) Numa PA temos a3 = 13 e a6 = 25. Calcule a1.

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Respostas

Exercício 1

Sabemos que:

n = 5
an = -20
r = -3

Precisaremos descobrir a1 e para isso usaremos a fórmula.

an = a1 + (n -1).r

-20 = a1 + (5 - 1).(-3)
-20 = a1 - 12
-20 + 12 = a1
-8 = a1

Descobrimos que o primeiro termo dessa PA é -8 e agora podemos montá-la.

Resposta:

PA = {-8, -11, -14, -17, -20}

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Exercício 2

Bom, eu já havia explicado que a razão também pode ser indicada pela letra d.

Os dados que temos do enunciado são:

a4 = 183
a5 = 200

Muito fácil calcular, já que os dois termos dados são consecutivos basta subtrair o a5 pelo a4 para achar a razão.

a4 - a5 = d
183 - 200 = d

d = 17

Resposta:

d é igual a 17

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Exercício 3

Os dados que temos nesse enunciado são:

a3 = 13
a6 = 25

Não sabemos:

an = ?
n = ?
r = ?
a1 = ?

Ou seja, o enunciado não nos deu dados diretos, apenas dicas.

Sabemos que para achar a razão temos que subtrair dois termos consecutivos da PA.

Usando a lógica:

Quantos termos existem entre a3 e a6?

Sabemos que existem 3 termos e a partir daí podemos elaborar um raciocínio.

Se subtrairmos o maior termo pelo menor, ou seja a6 - a3 encontraremos 12.

a6 - a3 = ?
25 - 13 = 12

Como existe uma diferença de 3 termos entre a6 e a3, pegamos o resultado e dividimos por 3.

12 ÷ 3 = 4

Essa é a razão da PA e com ela podemos achar os demais termos.

a3 - r = a2
13 - 4 = 9

a2 - r = a1
9 - 4 = 5

Encontramos o resultado.

Resposta:

Nessa PA, o termo a1 é 5

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Montante e juros compostos

Na publicação anterior sobre matemática para concursos, foi explicado um pouco sobre juros simples. Nessa será falado sobre o cálculo do montante, que é o capital inicial acrescido de juros, preparando o terreno para poder mostrar também como calcular juros compostos.

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Juros simples

É uma compensação que se recebe ao dispor uma quantia para outra pessoa. O juro recebido depende do tempo , da quantia e da taxa estabelecida. Juros simples são representados pela letra "J". O dinheiro que se aplica é chamado de capital, representado pela letra "C". O tempo ou o período que esse dinheiro aplicado é representado pela letra "n". A taxa é a porcentagem que deverá ser cobrada pelo tempo que o dinheiro ficou aplicado, sendo seu valor unitário ( 1% = 0,01 ) representado pela letra "i". Veja sobre isso nessa publicação.

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Porcentagem

É o número de centésimos existentes em uma grandeza. A porcentagem é a representação de uma fração onde o denominador é 100. Usamos porcentagem no nosso dia a dia quando vemos a promoção de um produto em uma loja ou quando atrasamos o pagamento de alguma conta por exemplo. Não há como escapar disso. Somos confrontados com questões envolvendo porcentagens também sempre que disputamos uma vaga, seja para um emprego ou vestibular.

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Regra de três

Nas publicações sobre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais foram resolvidos problemas envolvendo regra de três simples. Veremos como resolver problemas que exijam o uso da regra de três composta e para isso seguiremos alguns exemplos.

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Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra diminui com proporção igual ou diminuindo uma delas, a outra aumenta com proporção igual. Mais uma vez, será através de exemplos com exercício resolvidos que irei mostrar mais essa matéria de matemática cobrada em concursos e vestibulares.

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