Veja um pouco sobre números Primos e Compostos e critérios de divisibilidade. Conteúdo importante para você que está às "margens" de um concurso ou vestibular.
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Concurseiro:
Números Primos e Compostos:
Dizemos que um número é Primo quando ele é um número natural maior que 1 e que só pode ser dividido por 1 ou por ele mesmo.
Nºs Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 45...}
Veja que o número 1 não é Primo, pois só pode ser dividido por ele mesmo e que 2 é o único número Primo que é par.
Precisamos entender também o que são números Compostos. Números Compostos são aqueles números inteiros maiores do que 1 e que não são Primos.
Nºs Compostos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28...}
Como posso saber se o número 1737 é Primo ou Composto? Facilita muito quando sabemos quais são os critérios de divisibilidades.
Principais Critérios de Divisibilidade:
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando este é par.
Nºs pares = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34...}
Divisibilidade por 3: Para saber se um número é divisível por 3, some os seus algarismos e depois tente dividir por 3. Na divisão não poderá haver resto. Veja os exemplo sobre os números 1692 e 824.
1692 | 1+6+9+2 = 18
Este é um número divisível por 3, já que 18 dividido por 3 é igual a 6
824 | 8+2+4 = 14
Este não é um número divisível por 3, já que 14 dividido por 3 é igual a 4,666...
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando terminar em dois zeros ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita forem divisíveis por 4 sem deixar restos. Veja os exemplos.
3000 é um número divisível por 4.
7633 Não é um número divisível por 4.
516 é um número divisível por 4
45800 é um número divisível por 4.
904 é um número divisível por 4.
1918 não é um número divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando este termina em 0 ou 5. Veja abaixo.
205 é divisível por 5
4690 é divisível por 5
147 não é divisível por 5
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando for possível dividi-lo por 2 e 3 ao mesmo tempo sem deixar restos, ou seja, ele terá que ser par e a soma de seus algarismos terá que ser um valor divisível por 3. Veja os exemplos.
828 é divisível por 6, pois além de ser um número par a soma de seus algarismos resulta em 18, que é divisível por 3.
344 não é divisível por 6, pois apesar de ser par a soma de seus algarismos resulta em 11, que não é divisível por 3.
19203 não é divisível por 6, já que não é um número par, nem precisaremos conferir se é divisível por 3.
Divisibilidade por 7: Para descobrir se um número é divisível por 7 você terá que separar os demais algarismos do último mais a direita (unidade) e subtrair este último multiplicado por dois. Este último resultado dará um número menor que poderá ser dividido por 7 e o valor deve deverá ser exato. Confuso né? Veja o exemplo que fica mais fácil de entender.
182 | Vamos primeiro retirar o último algarismo dos demais e ficaremos com 18. Agora pegamos este valor subtrairemos com o algarismo que separamos multiplicado por 2 que dará 4, pois:
2x2 = 4
Continuando com a conta teremos:
18-4 = 14
Este é um número divisível por 7 pois 14 dividido por 7 é igual a 2
Veja outro exemplo:
Vamos descobrir se o número 1771 é divisível por 7. Primeiro vamos retirar o último algarismos dos demais.
177
Agora vamos multiplicar por 2 o último algarismo.
2x1 = 2
Agora vamos subtrair os primeiros algarismos do dobro do último.
177-2 = 175
Ainda é um número grande para sabermos, vamos repetir o processo. Vamos pegar o 175 e retirar o último algarismo.
17
Vamos multiplicar por 2 o último alagarismo.
2x5 = 10
Agora vamos fazer a última conta e achar o resultado.
17-10 = 7
Como o resultado final foi 7 e 7 é divisível por 7 então descobrimos que 1771 é um número divisível por 7.
Divisibilidade por 8: Para ser divisível por 8 o número deve possuir os 3 algarismos finais como zero ou ter os 3 algarismos finais divisíveis por 8 com resultado exato. Veja.
467000 é divisível por 8 pois termina com 3 zeros
3912 é divisível por 8 pois 912 dividido por 8 é igual a 114
478901 não é divisível por 8 pois 901 dividido por 8 é igual a 112,625
Como você pode ver, essa regra só é útil quando temos que lidar com números muito grandes.
Divisibilidade por 9: Para saber se um número é divisível por 9 devemos somar os seus algarismos e o resultado dessa soma deve ser um valor divisível por 9. Veja os exemplos
567 | 5+6+7 = 18 ---- É divisível por 9, pois 18 dividido por 9 é igual a 2
623 | 6+2+3 = 11 ---- Não é divisível por 9, pois 11 dividido por 9 é igual a 1,222...
Divisibilidade por 10: Um número só será divisível por 10 quando este terminar em zero. Veja.
26730 é divisível por 10
36721 não é divisível por 10
Voltando ao assunto anterior, vamos identificar se o número 1737 é um número Primo ou Composto. Agora que já sabemos os critérios de divisibilidade essa tarefa se torna mais fácil, já que deveremos dividir esse número por outros números Primos - 2, 3, 5, 7, 11... - e o resultado deverá ser uma divisão com quociente menor que o divisor e com resto diferente de zero. Se atender a essas condições o número é Primo e se o resultado da divisão der resto zero então o número é Composto.
Se "deu um branco" e você não se lembra o que é quociente, divisor, dividendo e resto, dê uma olhada na imagem abaixo:
Vamos então analisar pelos critérios de divisibilidade o número 1737:
Pelo critério de divisibilidade por 2:
Não é um número divisível por 2, pois não é par. Se fizermos a conta e dividirmos por dois, o quociente será 868 que é maior que o divisor. De acordo com a regra esse número não é Primo, pois para ser Primo o seu quociente teria que ser menor que o divisor e com resto diferente de zero, mas ainda não é possível afirmar com certeza se ele é Composto, lembre-se que para que seja confirmado como sendo um número Composto o resto deve ser zero e nesse caso o resto é 1. Continuemos então.
Pelo critério de divisibilidade por 3:
É um número divisível por 3, pois 1+7+3+7 é igual a 18 que é um número divisível por 3, portanto, nossa busca acabou e descobrimos que 1737 é um número Composto, pois o resultado da sua divisão dá zero como resto.
Vamos a um outro exemplo. Vamos tentar descobrir se o número 179 Primo ou Composto.
Pelo critério de divisibilidade por 2:
Já sabemos que não é divisível por 2, pois não é par. Se fizermos a divisão não encontraremos uma divisão exata portanto não podemos afirmar que este seja um número Composto. Também não podemos afirmar que é um número Primo, pois seu quociente é maior que seu divisor, ou seja, não podemos afirmar nada ainda. Teremos que testar mais critérios.
Pelo critério de divisibilidade por 3:
Também não é um número divisível por 3, pois 1+7+9 é igual a 17 que não é divisível por 3. Passemos para o critério seguinte.
Pelo critério de divisibilidade por 5:
Você já deve estar achando que eu esqueci o critério de divisibilidade por 4. Não esqueci, apenas não é necessário, só precisamos testar critérios com números Primos e por isso já pulei para o cinco.
Por 5 também não é, pois 179 não é um número divisível 5. Vamos para o próximo critério.
Pelo critério de divisibilidade por 7:
Esse critério exige que façamos algumas contas. Vamos retirar o último algarismo do número. Ficará:
17
Vamos dobrar o valor do último algarismo. Ficará:
18
Vamos montar a última conta:
17-18 = -1
O resultado é -1, que não é divisível por 7. Se fizermos a divisão de 179 por 7 encontraremos um quociente de 25 que é maior do que o dividendo, portanto ainda não podemos afirmar se esse número é Primo ou Composto. Passemos para o próximo.
Há um critério para a divisibilidade por 11, mas não irei esmiuçá-lo, pois não é muito comum ter que usá-lo. Para saber se 179 é divisível por 11 vamos fazer através da própria divisão mesmo. Se você dividir 179 por 11 aí no seu caderno, vai encontrar o quociente com valor 16 e resto 3. Como o quociente é maior que o dividendo e a divisão não é exata, ainda não podemos afirmar se 179 é um número Primo ou Composto. Vamos então para o próximo.
Depois de 11 o próximo número Primo é o 13. Se dividirmos 179 por 13 encontraremos o quociente 13 e o resto 10. O quociente continua sendo maior que o divisor e a conta também não deu exata, portanto ainda não podemos afirmar se 179 é um número Primo ou composto, mas estamos chegando perto. Vamos para a próxima conta.
O próximo número primo é o 17. Pegaremos então o 179 e dividiremos por 17. Encontraremos o valor do quociente como sendo 10 e o resto 9. Finalmente descobrimos que este é um número Primo, pois o resultado da sua divisão deixa resto diferente de zero e o quociente é um valor menor que o divisor.
Números Primos entre si:
Primos entre si são conjuntos de dois ou mais números naturais que apresentam somente o número 1 como único divisor comum entre eles.
Para descobrir os divisores de um número devemos fatorá-lo. Fatoração é tema de outra publicação, mas usaremos um pouco agora na apresentação de um exemplo. Vamos descobrir se os números 20 e 27 são primos entre si. Veja a imagem abaixo.
Nesse caso os números 20 e 27 são Primos entre si. Vamos ver outro exemplo, dessa vez iremos comparar cinco números e descobrir se são Primos entre si. Usaremos o 20, 27, 31, 42 e 25.
Fatorando o 20 encontraremos os divisores: 20 - 10 - 5 - 1
Fatorando o 27 encontraremos os divisores: 27 - 9 - 3 - 1
Fatorando o 31 encontraremos os divisores: 31 - 1
Fatorando o 42 encontraremos os divisores: 42 - 21 - 7 - 1
Fatorando o 25 encontraremos os divisores: 25 - 5 - 1
Veja que o número 5 aparece duas vezes, mas somente o número 1 é comum à todos, portanto estes são números Primos entre si.
Vamos fazer um último exemplo. Veremos se os números 81, 36 e 12 são Primos entre si.
Fatorando o 81 encontraremos os divisores: 81 - 27 - 9 - 3 - 1
Fatorando o 36 encontraremos os divisores: 36 - 18 - 9 - 3 - 1
Fatorando o 12 encontraremos os divisores: 12 - 6 - 3 - 1
Os números 81, 36 e 12 não são Primos entre si, pois além do número 1, possuem o número 3 como divisor comum à todos.
Saiba que dois números Primos serão sempre Primos entre si.
Que dois números inteiros consecutivos serão sempre Primos entre si.
E que números pares não podem ser Primos entre si.
Exercícios
1) Qual afirmação abaixo não está correta?
a) O número dois é o único número par que é Primo.
b) O número zero não é Número Primo e nem Composto.
c) O número 197 é o último número Primo que antecede ao número 200.
d) O número 453 não é um número Composto.
2) Qual afirmação abaixo está correta?
a) Os números 7, 9, 111 são números Primos.
b) Os números 3 e 9 são divisores de 23796.
c) O número 1 tem apenas dois divisores.
d) O número 259 não é um número composto.
3) Qual afirmativa não está correta?
I. Para descobrir se um número é divisível por 7, temos que subtrair o dobro do último algarismo pelos demais e dessa conta resultará um número menor que deverá ser dividido por 7 e dessa divisão o resto deverá ser zero.
II. Números Primos entre si possuem apenas o numeral 1 como divisor comum.
III. O maior divisor de um número natural é ele próprio.
a) I e II estão corretas
b) I e III não estão corretas
c) II e III estão corretas
d) Todas estão corretas
Respostas
Exercício 1
Através dos critérios de divisiblidade descobrimos que 453 é divisível por 3.
4+5+3 = 12
O Número 12 dividido por 3 dá como resultado 4 e com resto 0.
Resposta:
Letra 'd'. O numeral 453 é sim um número composto.
Exercício 2
Resposta:
Letra 'b'. Através dos critérios de divisiblidade descobrimos que 23796 é divisível por 3 e por 9.
Exercício 3
Resposta:
Letra 'b'. As afirmativas I e III estão corretas sim.
