Seguindo com as matérias que costumam aparecer nos concursos e vestibulares, será mostrado nessa publicação os principais casos que ocorrem nos produtos notáveis, tais como: Quadrado de uma soma, quadrado de uma diferença, diferença de dois quadrados, fatoração, cubo de uma soma e cubo de uma diferença.
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Concurseiro
Quadrado de uma soma
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do terceiro termo.
(a + b)2 = a2 + 2*a*b + b2
Quadrado de uma diferença
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do terceiro termo.
(a - b)2 = a2 - 2*a*b + b2
Diferença de dois quadrados
A diferença de dois quadrados é igual ao produto da soma pela diferença da raiz quadrada de cada um dos termos.
x2 - 16 = (x + 4) * (x - 4)
Fatoração
Resolve-se colocando os termos comuns em evidência.
5x2 - 15 = 5x*(x + 3)
Cubo de uma soma
Resolve-se pelo cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.
(a + b)3 = a3 + 3*a2*b + 3*a*b2 + b3
Cubo de uma diferença
Resolve-se pelo cubo do primeiro termo, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.
(a - b)3 = a3 - 3*a2*b + 3*a*b2 - b3
Exercícios
1) Se x² - y² = 135 e x - y = 9, então qual é o valor para x e y?
a) 3 e 12
b) 6 e 15
c) 3 e 15
d) 6 e 12
2) Sabe-se que x + y = 10 e x * y = 6, então qual é o valor de x² + y²?
a) 60
b) 120
c) 88
d) 80
3) Se x + y = 8 e x * y = 15, qual e o valor de x² + 6xy + y²?
a) 64
b) 109
c) 124
d) 204
e) 154
Respostas
Exercício 1
Queremos saber os valores de x e y isoladamente.
Sabemos que:
x² - y² = 135
x - y = 9
Sendo assim vamos resolver pelo método de substituição começando pelo valor de x.
Se x - y = 9 então x = 9 + y
Façamos:
x² - y² = 135
(9 + y)2 - y2 = 135
Aplicamos a regra do quadrado de uma soma:
92 + 2*9*y + y2 - y2 = 135
81 + 18y = 135
18y = 135 - 81
18y = 54
y = 54 ÷ 18
y = 3
Já temos o valor de y, agora vamos substituí-lo.
x² - y² = 135
x² - 3² = 135
x² - 9 = 135
x² = 135 - 9
x² = 144
x = √144
x = 12
Portanto a resposta é a letra 'a'.
Exercício 2
Queremos saber o resultado da soma entre x² + y².
Já sabemos que:
x + y = 10
x * y = 6
Para descobrir vamos pegar o x + y = 10 e elevar ao quadrado para depois resolver.
(x + y )2 = 102
Resolvemos aplicando a regra do quadrado de uma soma:
x2 + 2*x*y + y2 = 100
Lembre-se que x * y = 6, então:
x2 + 2*6 + y2 = 100
x2 + 12 + y2 = 100
x2 + y2 = 100 - 12
x2 + y2 = 88
A resposta é a letra 'c'.
Exercício 3
Queremos saber o valor de x² + 6xy + y².
Sabemos que:
x + y = 8
x * y = 15
Só de olhar já sabemos parte do valor desse produto notável pois:
Se x * y = 15 então 6xy é igual a 90
Sobrou só x² + y² para calcularmos. Sendo assim elevamos o x + y = 8 ao quadrado:
(x + y)2 = 82
Resolvemos aplicando a regra do quadrado de uma soma:
x² + y² + 2xy = 64
Lembre-se que x * y = 15, então:
x² + y² + 30 = 64 x² + y² = 64 - 30 x² + y² = 34
Agora já temos tudo que precisamos para saber o resultado de x² + 6xy + y.
x² + y² + 6xy = 34 + 90 = 124
A resposta é a letra 'c'.
