Lomeutec - Tutoriais e Informação
ESTE BLOG NÃO É MAIS ATUALIZADO. SUAS ATIVIDADES FORAM DEFINITIVAMENTE ENCERRADAS EM 2020.

Montante e juros compostos

Na publicação anterior sobre matemática para concursos, foi explicado um pouco sobre juros simples. Nessa será falado sobre o cálculo do montante, que é o capital inicial acrescido de juros, preparando o terreno para poder mostrar também como calcular juros compostos.

Ir para o índice

Concurseiro

Montante

Para calcular o montante temos a fórmula:

M = C * (1 + i * n)

Onde:

M = Montante
C = Capital inicial
i = Taxa
n = Tempo

Vamos então aos exemplos, que são a forma mais fácil para o entendimento da matéria.

1º Exemplo

Determine o montante de um capital de R$ 600,00, aplicado durante 8 meses e com uma taxa de juros simples anual de 18%.

Vamos separar os dados:

M = ?
C = 600
i = 18%
n = 8

Vamos analisar a questão:

A taxa é anual, mas o tempo da aplicação está sendo contado em meses, portanto precisamos colocar os dois na mesma unidade de tempo para conseguirmos realizar a operação.

8/12

Onde 12 são os meses do ano.

Dizer 18% é o mesmo que 0,18 ou 18/100. Sendo assim vamos montar a fórmula.

M = C * (1 + i * n)

M = 600 * (1 + 18/100 * 8/12)

M = 600 * (1 + 144/1200)

M = 600 * (1 + 0,12)

M = 600 * 1,12

M = 672

Resposta:

O montante do capital de R$ 600,00 acumulado durante 8 meses a uma taxa de 18% é de R$ 672,00.

_______________________________________

Com esse primeiro exemplo já podemos ver sobre os juros compostos e trabalhar mais com o cálculo de montantes.

Juros Compostos

Os juros compostos são aqueles que chamamos de juros sobre juros. Funciona da seguinte forma:

Imagine R$ 300,00 aplicados durante 3 meses em um investimento com uma taxa mensal de 3%.

Se considerarmos juros simples, o montante gerando no final do 3º mês seria de R$ 327,00.

O cálculo foi feito com a seguinte fórmula para cálculo de juros simples:

J = C * i * n


J = 300 * 0,03 * 3
J = 27

Para calcular o montante usei a fórmula:

M = C + J

M = 300 + 27
M = 327

Resposta: R$ 327,00

Seria o mesmo que dizer que foi aplicado 9% em cima do capital de R$ 300,00. O mesmo não acontece com os juros compostos.

Agora vamos considerar esse mesmo enunciado usando cálculo de juros composto.

Para calcular os juros compostos usamos a fórmula:

M = C * (1 + i)n

Calculando:

M = 300 * (1 + 0,03)3

O parênteses nos obriga a resolvê-lo primeiro, portanto:

M = 300 * 1,033

M = 300 * 1,092727

Lembre-se de que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais e que 1,03 é igual a 103/100, sendo assim:


103/100 * 103/100 * 103/100 = 1092727/1000000 ou 1,092727

Continuando:

M = 327,8181

Resposta: R$ 327,81

Essa diferença nos centavos apareceu porque o cálculo de juros composto de um mês é feito em cima do montante do mês anterior.

Explicação:

O capital inicial era R$ 300,00 e o juros aplicado no primeiro mês foi de 3%. Então no primeiro mês o rendimento dessa aplicação gerou um montante de R$ 309,00.

No segundo mês o juros ainda era de 3%, mas dessa vez ele seria calculado em cima do montante do mês anterior, ou seja, R$ 309,00. Isso gerou no segundo mês um montante de R$ 318,27.

No terceiro mês o cálculo foi de 3% de juros em cima do montante do mês anterior, que no final gerou um montante de R$ 327,81.

Com isso já deve ter ficado claro a diferença do cálculo do juros simples e do juros composto. Vamos então a mais exemplos.

_______________________________________

2º Exemplo

Durante quanto tempo esteve aplicado em uma poupança, o capital de R$ 180.000,00 para render, de juros, a importância de R$ 22.248,00, se a taxa foi de 6% ao mês?

OBS:
Log de 1,1236 = 0,050611731
Log de 1,06 = 0,025305865

Vamos separar os dados:

C = 180000
J = 22248
i = 6%
n = ?

Vamos analisar os dados:

Sabemos que a fórmula para calcular o montante precisamos somar o capital inicial com os juros obtidos, portanto:

M = C + J
M = 180000 + 22248
M = 202248

Vamos calcular:

M = C * (1 + i)n

202248 = 180000 * (1 + 0,06)n

202248/180000 = 1,06n

Nesse ponto seremos obrigados a usar a propriedade dos logaritmos. Se quiser entender como funciona as propriedades dos logaritmos veja o vídeo abaixo, mas entender essa propriedade não tem tanta importância para esse caso, o que você deve entender é que é necessário isolar a incógnita, e é através desse artifício que faremos isso.


Continuando:

log 1,1236 = n * log 1,06

log 1,1236/log 1,06 = n

2 = n

Resposta:

Esteve aplicado durante 2 meses.

_______________________________________

Tente resolver os exercícios a seguir. Somente assim você aprenderá de verdade.

Exercícios

1) Aplicou-se juros composto a um capital de R$ 1.400.000,00, a 4% ao mês, durante 3 meses. Determine o montante produzido nesse período.

a) R$ 1.574.809,00
b) R$ 1.074.809,24
c) R$ 1.574.849,80
d) R$ 1.574.809,60

_______________________________________

2) Por quanto tempo devo aplicar um capital à taxa de 10% para que ele dobre de valor?

OBS: Auxilie-se pela tabela abaixo:

Tabela de logaritmos
Log
Log
1
0
1,6
0,204119983
1,1
0,0413926852
1,7
0,230448921
1,2
0,079181246
1,8
0,255272505
1,3
0,113943352
1,9
0,278753601
1,4
0,146128036
2,0
0.301029996
1,5
0,176091259
2,1
0,322219295

a) Mais de 7 e menos de 8 meses.
b) Mais de 12 e menos de 13 meses.
c) Mais de 6 e menos de 7 meses.
d) Mais de 16 e menos de 17 meses.

________________________________________

________________________________________

Respostas

Exercício 1

Vamos separar os dados:

M = ?
C = 1400000
i = 4%
n = 3 meses

Resolução:

M = C * (1+ i)n

M = 1400000 * (1+ 0,04)3
M = 1400000 * 1,043
M = 1400000 * 1,124864
M = 1574809,6

A resposta é letra 'd'.

_______________________________________

Exercício 2

Vamos separar e analisar os dados:

O enunciado diz:

"Por quanto tempo devo aplicar um capital à taxa de 10% para que ele dobre de valor?"

Isso que dizer que o montante deverá ser o dobro do capital inicial, portanto:

M = 2C

O enunciado não diz de quanto é esse capital.

C = ?

A taxa aplicada será de 10%.

i = 10%

Mas o tempo da aplicação é o foco da questão.

n = ?

Sendo assim:

M = 2C
C = ?
i = 10%
n = ?

Resolução:

M = C * (1+ i)n

2C = C * (1+ 0,10)n
2C = C * 1,10n
2C/C = 1,10n
2 = 1,10n

Temos que empregar a propriedade dos logaritmos.

log 2 = n * log 1,10

Log 2/Log 1,1 = n

E agora temos que consultar a tabela.

0,30103/0,04139 = n

7,27 = n

A resposta é a letra 'a'

_______________________________________

Para o anterior - Para o próximo