Você verá nessa publicação algumas revisões sobre raízes. A radiciação é a operação oposta à pontenciação. Geralmente é aprendida na 6º série do ensino fundamental, mas também é muito cobrada em concursos e vestibulares.
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Concurseiro
Veja:
A radiciação acima é o oposto de 42.
OBS: Apesar de, na imagem acima, mostrar o número 2 no índice, não há necessidade de escrevê-lo para representar a raiz quadrada. Só está sendo mostrado acima para ficar mais fácil de entender o que é o índice em uma radiciação.
Mais exemplos:
3√125 = 5, pois 53 = 125
5√1 = 1, pois 15 = 1
Radicais semelhantes
São radicais que possuem índice e radicando iguais.
Exemplos:
3√2 e -5√2, pois o índice do radical é 2 no primeiro e no segundo e o radicando é 2 no primeiro e no segundo.
- 3√5 e 2 3√5, pois o índice é 3 no primeiro e no segundo e o radicando é 5 no primeiro e no segundo.
Redução ao mesmo índice
Para realizar operações matemáticas com raízes, precisamos que estejam reduzidas ao mesmo índice. Para isso devemos obter o M.M.C. a partir dos valores desses índices.
Exemplo:
3√2, 4√6 e 6√3
O M.M.C. dos índices {3, 4 e 6} é 12, portanto calculemos dividindo o M.M.C. obtido, pelo valor de cada índice e colocando o resultado como expoente de cada radicando. O valor do M.M.C. será usado como índice comum. Veja:
12√24, 12√63 e 12√32
Fica:
12√16, 12√216 e 12√9
Operações com raiz
Adição e subtração:
Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes.
Exemplos:
2√5 + 4√5 = (2 + 4)√5 = 6√5
-2√3 - √3 = (-2 - 1)√3 = -3√3
5√7 - 7√7 + 2√7 = (5 - 7 + 2)√7 = √7
Se não forem semelhantes deveremos usar o processo de redução ao mesmo índice antes de calcular.
Multiplicação:
Para multiplicar radicais de índices iguais, aplicamos a propriedade do radical de um produto.
Exemplos:
√3 x √2 = √3 x 2 = √6
2 3√5 x 3 3√3 = 2 x 3 3√5 x 3 = 6 3√15
Se não forem semelhantes deveremos usar o processo de redução ao mesmo índice antes de calcular.
Divisão:
Para Dividir radicais de índices iguais, usamos a propriedade do radical de um quociente.
Exemplos:
√14 ÷ √2 = √14 ÷ 2 = √7
6 3√64 ÷ 3 3√8 = 6 ÷ 3 3√64 ÷ 8 = 2 3√8
Se não forem semelhantes deveremos usar o processo de redução ao mesmo índice antes de calcular.
Raiz de fração:
Para obter o resultado de uma raiz onde o radicando seja uma fração, devemos resolver o numerador e o denominador separadamente.
Exemplos:
3√1/8 = 1/2
√4/9 = 2/3
Potenciação:
Para realizar operações de potenciação em raízes devemos conservar o índice e elevar o radicando à potência indicada.
Exemplos:
(5√2)3 = 5√23 = 5√8
(4√16)2 = 4√162 = 4√256 = 8
Radiciação:
Em raiz de raiz conserva-se o radicando multiplica-se os índices.
Exemplo:
Simplificação de radicais:
Faremos a simplificação de radicais através da aplicação de algumas propriedades.
1ª - Quando o expoente do radicando for menor que o índice, poderemos reduzir o índice e o expoente através do método de M.D.C.
Exemplo:
12√46
O M.D.C de {12 e 6} é igual a 6, portanto:
12÷6√46÷6 = √4
2ª - Quando o expoente do radicando for maior ou igual ao índice, poderemos simplificar o expoente pelo mesmo valor do índice e então retiramos a base do radicando.
Exemplo:
3√27+24+25 = 3√33+24+25 = 3√33+23+2+23+22 =
3+2+2 3√2+22 = 7 3√6
3ª - Outro método é através da decomposição do radicando em fatores primos.
Exemplo:
3√54
Fatorando o radicando obtemos:
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 | 2 x 33
Aí então fica:
3√2x33 = 3 3√2
Racionalização de denominadores:
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador.
Exemplos:
1º Caso
3 = 3√5 = 3√5 = 3√5
√5 √5 x √5 √52 5
2 = 2√2 = 2√2 = 2√2 = √2
√2 √2 x √2 √22 2
2º Caso
3 3 3
3 = 3√22 = 3√4 = 3√4
3√2 3√2 x 3√22 3√2 x 22 2
4 4 4 4
5 = 5√5 = 5√5 =
4√53 4√53 x 4√5 4√54
O que você deve lembrar sobre radiciação:
1º - Não existe raiz de número negativo com índice par. Lembre-se de que radiciação é a operação inversa à exponenciação, veja:
√-4 = b
O inverso seria:
b2
Sabemos que todo número elevado a expoente par tem como resultado um número positivo. Sendo assim √-4 não existe.
OBS: No caso acima, como estamos tratando de números do conjunto dos números Reais, a afirmação acima é verdadeira. Mas se estivéssemos tratando de números do conjunto dos números Complexos, aí sim √-4 seria possível. Não se preocupe com isso. Primeiro porque é mais comum lidarmos com o conjunto dos números Reais em avaliações de vestibulares e concursos, e segundo porque o conjunto dos números Complexos serão abordados em publicações adiante. Ainda é muito cedo para isso.
E se você encontrar o seguinte caso? Veja:
-√4 = b
Qual seria o resultado?
Nesse caso o resultado seria:
-√4 = -2, pois o sinal de subtração está fora da raiz.
2º - Quando o radicando for negativo e o índice for ímpar o resultado será um sempre um valor negativo, veja:
3√-4 = -64, pois é igual a -43
Já que:
(-4) x (-4) x (-4) = (16) x (-4) = -64
3º - Quando o radicando for positivo sua raiz será sempre positiva.
Exemplos:
√36 = 6
3√27 = 3
4º - Radicando nulo com qualquer índice, tem como resultado zero.
Exemplos:
√0 = 0
5√0 = 0
5º - Radiciação de índice 1 tem como resultado o mesmo valor do radicando.
Exemplos:
1√6 = 6
1√0 = 0
1√1 = 1
1√-74 = -74
6º - Se o índice for ímpar e igual ao expoente do radicando, então a raíz será igual à base do radicando.
Exemplos:
3√23 = 2
5√(-3)5 = -3
7º - Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita em forma de radical.
Exemplo:
¾
5 = 4√53
8º - Não existe raiz com índice nulo. Como a raiz é a operação inversa da potenciação, o zero seria o denominador, e numeral com denominador nulo não é permitido.
Exercícios
1) Calcule a média geométrica entre {2, 4 e 8} e também entre {4 e 25}.
a) 64 e 100
b) 4 e 10
c) 5,3 e 14,5
d) 8 e 10
2) Numa planta, um terreno de 320 m2 é representado por um desenho de 20 cm2. A escala dessa planta é:
a) 1:16
b) 1:400
c) 1:1,6
d) 1:40
e) 1:160
3) A raiz quadrada entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 15 é 30. A razão entre o M.D.C. e o M.M.C. é 1/4. Então a soma dos números vale?
a) 30
b) 45
c) 65
d) 70
e) 75
4) O resultado da operação 10√5 - 7√5 + √5 é:
a) 18√5
b) 4√15
c) 4√5
d) √5
e) 3√5
Respostas
Exercício 1
Para calcular a média geométrica devemos montar uma raiz onde o índice seja equivalente ao número de radicandos dentro da raiz. Os radicandos serão multiplicados dentro da raiz.
Por exemplo, no primeiro caso, está sendo pedido para se calcular a média geométrica dos números {2, 4 e 8}, portanto o índice dessa raiz será 3, pois são três radicandos.
3√2x4x8
No segundo caso, serão dois elementos como radicandos, {4 e 25}, portando será uma raiz de índice 2 (Raiz quadrada).
√4x25
Agora é só resolver.
3√2x4x8 = 3√64 = 4
√4x25 = √100 = 10
Sendo assim a resposta é a letra 'b'.
Exercício 2
Para começar percebemos que nesse exercício estamos trabalhando com duas medidas diferentes. Metros quadrados e centímetros quadrados. Sempre que isso ocorrer devemos colocar tudo na mesma medida. Vamos então converter os 320 m2 em cm2. Vai ficar:
320 m2 para cm2 = 320000 cm2
E então dividimos:
20 = 1
320000 1600
Colocando em uma raiz temos:
√1/1600 = 1/400
Portanto a escala é de 1:400 e por isso a resposta é a letra 'b'.
Exercício 3
Esse é um típico exercício de concurso com bastante "encheção de linguiça" para te enrolar. Vamos traduzir o que foi pedido.
"A raiz quadrada entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 15 é 30"
Com base na frase acima nos montamos:
_____________________
√MDC(n,15) x MMC(n,15) = 30
Sabemos que a radiciação é a operação inversa da potenciação, portanto:
_____________________
√MDC(n,15) x MMC(n,15) = 30 o radicando é igual a 302 que é igual a 900.
Devemos então dividir 900 por 15 para encontrar o valor de n.
900 ÷ 15 = 60
Agora que encontramos o valor de n é só somar:
n + 15 = 60 + 15 = 75
Já temos a resposta. A parte do enunciado que diz, "A razão entre o M.D.C. e o M.M.C. é 1/4", está lá só para confundir.
A resposta é a letra 'e'.
Exercício 4
Este é muito fácil, basta realizar as operações normalmente conservando o radicando.
10√5 - 7√5 + √5 = 3√5 + √5 = 4√5
A resposta é a letra 'c'.
