Nessa publicação será brevemente apresentado como realizar operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, dando mais ênfase a operações de divisão.
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Adição e subtração de polinômios
Adição:
Para mostrar de forma prática, tomemos como exemplo os polinômios:
-4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1
Para realizar uma operação de soma faremos da seguinte forma:
(-4x2 + 6x - 1) + (-2x3 + 3x - 1)
Fique atento à regra de sinais.
-4x2 + 6x - 1 - 2x3 + 3x - 1
Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.
-2x3 - 4x2 + 6x + 3x - 1 - 1
O resultado será:
-2x3 - 4x2 + 9x -2
Subtração:
Mais uma vez mostrarei na forma de um exemplo prático como realizar subtração com polinômios. Para isso vamos usar os mesmos polinômios do exempo acima:
-4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1
Para realizar uma operação de subtração faremos da seguinte forma:
(-4x2 + 6x - 1) - (-2x3 + 3x - 1)
Lembre-se de que o sinal de fora do parênteses altera os sinais dos valores dentro do parênteses. É a aplicação da regra de sinais.
-4x2 + 6x - 1 + 2x3 - 3x + 1
Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.
+2x3 - 4x2 + 6x - 3x - 1 + 1
O resultado será:
+2x3 - 4x2 + 3x
Multiplicação de polinômios
Polinômio x polinômio:
Devemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos tomar como exemplo prático, a multiplicação dos mesmo polinômios:
-4x2 + 6x - 1 e -2x3 + 3x - 1
Para realizar uma operação de multiplicação faremos da seguinte forma:
(-4x2 + 6x - 1) x (-2x3 + 3x - 1)
Aplique a propriedade distributiva:
OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.
-4x2 * (-2x3 + 3x -1) + 6x * (-2x3 + 3x -1) - 1 * (-2x3 + 3x -1)
Lembre-se, na multiplicação de potências de bases iguais nós mantemos as bases e somamos os expoentes. Tome cuidado com a regra de sinais também.
8x5 - 12x3 + 4x2 - 12x4 + 18x2 - 6x + 2x3 - 3x + 1
Vamos ordenar os termos semelhantes em ordem decrescente de acordo com as potências.
8x5 - 12x4 - 12x3 + 2x3 + 4x2 + 18x2 - 6x - 3x + 1
Ao reduzirmos os termos semelhantes e teremos a resposta:
8x5 - 12x4 - 10x3 + 22x2 - 9x + 1
Polinômio x monômio:
Também devemos usar a propriedade distributiva da multiplicação. Veja o exemplo prático:
-2x e -2x3 + 3x - 1
Aplicamos a propriedade distributiva:
OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.
-2x * (-2x3) + (-2x * 3x) - [ -2x * (- 1)]
Lembre-se, na multiplicação de potências de bases iguais nós mantemos a base e somamos os expoentes. Tome cuidado com a regra de sinais também. Veja a resposta:
4x4 - 6x2 - 2x
Divisão de polinômios
Vamos pegar como exemplo prático os seguintes polinômios:
2x3 + 5x2 - 3x + 10 e x - 2
Montamos a operação:
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
Aqui nós deveremos olhar para o primeiro termo de cada polinômio, que no caso são 2x3 e x e realizar a divisão:
2x3 ÷ x = 2x2
Este será o primeiro termo da resposta da nossa divisão:
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
2x2
OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.
2x2 * (x - 2) = 2x3 - 4x2
Invertemos os sinais:
-2x3 + 4x2
Enviamos para o outro lado e realizamos a operação:
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
-2x3 + 4x2 2x2
____________
0 + 9x2
Agora teremos que fazer o mesmo processo novamente, mas antes abaixe o próximo termo do dividendo.
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
-2x3 + 4x2 2x2
____________
0 + 9x2 - 3x
Devemos agora dividir o 9x2 pelo primeiro termo do divisor:
9x2 ÷ x = 9x
Este será o segundo termo do nosso resultado:
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
-2x3 + 4x2 2x2 + 9x
____________
0 + 9x2 - 3x
OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.
9x * (x - 2) = 9x2 - 18x
Com esse resultado você deverá inverter os sinais e realizar a operação dentro da chave.
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
-2x3 + 4x2 2x2 + 9x
____________
0 + 9x2 - 3x
-9x2 + 18x0 + 15x
De novo teremos que repetir o processo. Abaixe o próximo termo do dividendo.
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
-2x3 + 4x2 2x2 + 9x
_____________
0 + 9x2 - 3x
-9x2 + 18x
0 + 15x + 10
Dividiremos o 15x pelo primeiro termo do divisor x - 2.
15x ÷ x = 15
Este será o terceiro termo do nosso resultado.
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
-2x3 + 4x2 2x2 + 9x + 15
______________
0 + 9x2 - 3x
-9x2 + 18x
0 + 15x + 10
OBS: O asterisco representa o sinal de multiplicação.
15x * (x - 2) = 15x - 30
Invertemos os sinais e realizamos a operação dentro da chave.
2x3 + 5x2 - 3x + 10 | x - 2
-2x3 + 4x2 2x2 + 9x + 15
______________
0 + 9x2 - 3x
-9x2 + 18x
0 + 15x + 10
-15x + 30
0 + 40
Concluímos a operação e sendo assim o resultado final será:
2x3 + 5x2 - 3x + 10 ÷ x - 2 = 2x2 + 9x +15
Resto = 40
Atenção:
Veja o seguinte caso abaixo:
4x4 - 6x2 - 2x + 1 ÷ x2 - 1
Para efetuar essa divisão o primeiro passo será completar os polinômios. Veja:
4x4 + 0x3 - 6x2 - 2x +1 ÷ x2 + 0x - 1
Tendo feito isso você poderá executar a divisão usando o mesmo processo que foi explicado no exemplo acima.
Agora que você já viu como é que se faz uma divisão de polinômios, vou mostrar um outro método que é mais rápido, melhor para ser usado em avaliações onde o tempo é limitado.
Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Veja o exemplo:
P(x) = 2x3 + 5x2 - 3x + 10
Q(x) = x - 2
Primeiro nós analisaremos se P(x) é um polinômio completo, ou seja, se está em ordem decrescente de expoentes.
P(x) = 2x3 + 5x2 - 3x1 + 10
No caso está tudo certo, mas se faltasse algum nós deveríamos completá-lo. Exemplo:
Se P(x) fosse:
2x3 - 3x1 + 10
Nós completaríamos assim:
2x3 + 0x2 - 3x1 + 10
Mas voltando ao nosso caso, vamos em seguida verificar se o divisor é do tipo x ± a e sendo assim calculamos a raiz.
x - 2 = 0
x = 2
Agora já temos tudo que precisamos para começar, monte o dispositivo como é mostrado abaixo.
____|________________
|
Preencha da seguinte forma colocando a raiz do divisor no dispositivo.
____|________________
2 |
Preencha também colocando os coeficientes do dividendo.
| 2 5 -3 10
Com o dispositivo montado baixe o primeiro coeficiente.
| 2 5 -3 10
2 | 2
Você vai multiplicar a raiz do divisor pelo coeficiente que foi baixado. O produto deverá ser somado com o próximo coeficiente e o resultado será colocado abaixo dele.
4
+
| 2 5 -3 10
2 | 2 9
Agora você vai multiplicar a raiz do divisor, que no caso é o número 2, pelo resultado da soma, que no caso é o número 9, e o produto deverá ser somado ao terceiro termo do coeficiente. O resultado da soma deverá ser colocado abaixo do terceiro coeficiente.
4 18
+ +
| 2 5 -3 10
2 | 2 9 15
Mais uma vez você irá multiplicar a raiz do divisor, que no caso é o número 2, pelo resultado da última soma, que no caso é o número 15. O produto deverá ser somado ao quarto termo do coeficiente. O resultado da soma deverá ser colocado abaixo dele.
4 18 30
+ + +
| 2 5 -3 10
2 | 2 9 15 40
Este último resultado que encontramos é o resto e os demais são o quociente da divisão. Portanto:
2x3 + 5x2 - 3x + 10 ÷ x - 2 = 2x2 + 9x +15
Resto = 40
Exercícios
1) Calculando o valor de 'k' para que o polinômio F(x) = 2x3 - 5x2 + 7x + k, seja divisível por (x-1), obtemos:
a) 2
b) -2
c) 4
d) -4
2) Sabendo-se que P(1) = 0, as outras raízes do polinômio abaixo são:
P(x) = x3 - x2 - 9x + 9
a) -1 e -3
b) 3 e -3
c) 2 e -2
d) 3 e 2
3) Sabendo-se que 2 é uma das raízes dessa equação polinomial, as outras duas serão:
x3 + 2x2 - 5x - 6 = 0
a) 1 e 3
b) 1 e -2
c) -2 e -3
d) -1 e -3
Respostas
Exercício 1
Dizer que F(x) = 2x3 - 5x2 + 7x + k, é um polinômio divisível por (x-1) significa que seu resto é zero.
Sabemos que a raiz é 1, pois:
(x - 1)
x - 1 = 0
x = 1
Sendo assim substituímos os valores de x.
2*13 - 5*12 + 7*1 + k = 0
Agora é só resolver.
2*13 - 5*12 + 7*1 + k = 0
2 - 5 + 7 + k = 0
-3 + 7 + k = 0
4 + k = 0
K = -4
A resposta é a letra 'd'
Exercício 2
Esse é um polinômio do terceiro grau. O grau de um polinômio é definido pelo seu maior expoente. Vai ficar mais fácil se trabalharmos com uma equação do segundo grau.
Dizer que P(1) = 0 é o mesmo que dizer que P(x) = x3 - x2 - 9x + 9 é divisível por 1.
Sendo assim, sabendo que a raiz é 1, vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para reduzir esse polinômio para um polinômio de segundo grau.
1 0 -9
+ + +
| 1 -1 -9 9
1 | 1 0 -9 0
O polinômio reduzido ficou assim:
x2 + 0x - 9 = 0
Agora é só aplicar a fórmula de bhaskara para encontrar as demais raízes.
Onde:
a = 12
b = 0
c = -9
Tendo resolvido você encontrará:
xI = 3
xII = -3
Portanto a resposta é a letra 'b'.
Exercício 3
O processo de resolução para encontrar as raízes desse polinômio é o mesmo usado no segundo exercício.
O Primeiro passo é transformá-lo em um polinômio de segundo grau. Como já sabemos que uma de suas raízes é 2, sendo assim basta aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini.
2 8 6
+ + +
| 1 2 -5 -6
2 | 1 4 3 0
Obtemos:
x2 + 4x + 3 = 0
Basta aplicar a fórmula de bhaskara para saber que as outras duas raízes são:
xI = -1
xII = -3
Portanto a resposta é a letra 'd'.
