Já foram vistas situações na publicação Probabilidades - Parte I e em Probabilidades - Parte II, que abordam jogos de loteria e que envolvem sucessivas exigências. Verificamos que à medida que as exigências se sucedem, a probabilidade de satisfazê-las vai diminuindo. Veremos agora como resolver situações que também possuem sucessiva exigências, mas onde uma dessas exigências é satisfeita por todos os resultados.
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E como foi feito nas outras publicações, aqui também será explicado na forma de exemplos.
1º Exemplo
Qual é a probabilidade de que três pessoas escolhidas ao acaso tenha nascido no mesmo dia da semana?
Observe que não importa qual seja o dia da semana, o importante é que todos tenham nascido no mesmo dia da semana seja ele qual for.
Vamos pensar na primeira pessoa escolhida.
Se lhe perguntarmos em que dia da semana ela nasceu, quantas serão as respostas possíveis?
Serão 7 não é mesmo? Domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta ou sábado.
Nesse caso, 7 também é número de resultados favoráveis, pois não existe qualquer exigência para essa pessoa. Ou seja, a primeira pessoa escolhida poderá ter nascido em qualquer dia da semana.
P1 = 7/7 = 1
Vamos pensar agora na segunda pessoa escolhida.
Se perguntarmos à segunda pessoa em que dia da semana ela nasceu, ela poderá nos dar 7 respostas diferentes, pois são 7 os dias da semana.
Acontece que para a segunda pessoa, só nos interessa se ela tiver nascido no mesmo dia da semana em que a primeira pessoa nasceu. Sendo assim, o número de resultados favoráveis para essa probabilidade é de apenas 1.
P2 = 1/7
Ao pensarmos na terceira pessoa chegaremos a mesma conclusão. De que para ela haverá 7 resultados possíveis, mas apenas um favorável.
P3 = 1/7
Percebeu que verificamos as exigências de cada pessoa sucessivamente? Começamos verificando o dia de nascimento da primeira pessoa, depois verificamos o dia de nascimento da segunda pessoa e por último verificamos o dia de nascimento da terceira pessoa.
Por isso a probabilidade de que todas as pessoas tenham nascido no mesmo dia da semana pode ser achada da seguinte maneira.
P = P1 x P2 x P3
P = 1 x 1/7 x 1/7 = 1/49
A resposta para essa questão é que se três pessoas forem escolhidas ao acaso, a probabilidade de que todas tenha nascido no mesmo dia da semana é de 1/49.
2º Exemplo
Numa classe, os estudantes estão organizados em equipes de 6 integrantes. Uma dessas equipes possui 3 rapazes e 3 moças. Qual a probabilidade de ao sortear duas pessoas dessa equipe para representar o trabalho, de que as duas sejam do mesmo sexo?
Vamos supor que esse sorteio seja feito por papéizinhos com os nomes do participantes da equipe escritos neles e colocados dentro de um saco.
Sabemos que o número de resultados possíveis no primeiro sorteio é 6, pois será válido qualquer resultado que sair independentemente do sexo do sorteado.
P1 = 6/6 = 1
No segundo sorteio só haverá 5 papéis dentro do saco, 3 papéis serão de um sexo e 2 serão do mesmo sexo que foi sorteado na primeira vez.
Só nos interessa que no segundo sorteio a pessoa escolhida seja do mesmo sexo da primeira pessoa escolhida, portanto:
Número de resultados favoráveis: 2
Número de resultados possíveis: 5
P2 = 2/5
Como precisamos analisar cada probabilidade sucessivamente então:
P = P1 x P2
P = 1 x 2/5 = 2/5
Portanto, a probabilidade de que sejam escolhidas duas pessoas do mesmo sexo para representar o trabalho é de 2/5.
Exercícios
1) De um baralho normal de 52 cartas e onde cada naipe possui 13 cartas, são retiradas 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de que as 3 cartas sejam do mesmo naipe?
a) 169/2704
b) 156/2704
c) 22/425
d) 169/2652
2) Numa classe, os estudantes estão organizados em equipes de 6 integrantes. Uma dessas equipes possui 3 rapazes e 3 moças. Qual a probabilidade de ao sortear duas pessoas dessa equipe para representar o trabalho, de que as duas sejam de sexos diferentes?
a) 1/3
b) 2/5
c) 3/6
d) 3/5
Respostas
Exercício 1
Sabemos que o baralho possui 52 cartas.
Sabemos também que cada naipe desse baralho possui 13 cartas.
Na primeira vez em que formos tirar uma carta do baralho, ela poderá ser qualquer uma, pois não há qualquer exigência para a primeira retirada.
P1 = 52/52 = 1
O que queremos é que ao retirar a segunda carta ela seja do mesmo naipe da primeira que foi retirada.
Agora observe um detalhe importante. Como já foi feito uma retirada, o baralho agora só possui 51 cartas, sendo que apenas 12 são do mesmo naipe da que foi retirada. Portanto:
P2 = 12/51
Na terceira retirada, para satisfazermos as exigências, deveremos retirar uma carta do mesmo naipe que foi retirada na primeira e na segunda vez, só que agora são apenas 50 cartas no baralho sendo que somente 11 são do mesmo naipe das cartas retiradas.
P3 = 11/50
Como cada probabilidade foi analisada consecutivamente:
P = P1 x P2 x P3
P = 1 x 12/51 x 11/50 = 132/2550
132/2550 Simplificando: 22/425
Não lembra como simplificar frações? Veja na publicação Simplificação, Operações e Tipos de Frações.
A resposta é a letra 'c'.
Exercício 2
Vamos supor que esse sorteio seja feito com nomes dos integrantes do grupos escritos em papéizinhos colocados em um saco.
No primeiro sorteio não há qualquer exigência, portanto o número de resultados possíveis é 6 e o número de resultados favoráveis também é 6.
P1 = 6/6 = 1
No segundo sorteio teremos 5 papéizinhos dentro do saco, sendo que 2 são do mesmo sexo do primeiro papel sorteado e 3 do serão do sexo oposto.
O que nos interessa é que seja sorteado alguém do sexo oposto, portanto:
P2 = 3/5
Como estamos tratando de probabilidades que precisam ser analisadas consecutivamente devemos multiplicar os resultados obtidos.
Portanto a resposta é a letra 'd'.
