As progressões são sequências numéricas com propriedades matemáticas. Isso já foi dito na Parte I dessa publicação. O que será visto agora é a relação entre dois termos de uma PA e como resolver problemas relacionados a este tema. Como sempre, esse tópico será abordado e apresentado em forma de exercícios resolvidos e uma prática no final.
Ir para o índice
Consideremos dois termos de uma mesma PA, como por exemplo a5 e a8. Suas posições são dadas pelos índices 5 e 8. Um é o quinto termo e o outro é o oitavo termo. A diferença entre esses índices é 3, pois a5 está 3 posições atrás de a8 .
Numa PA, a diferença entre dois termos consecutivos é igual a razão. Um exercício envolvendo esse raciocínio foi apresentado na publicação anterior.
No exemplo atual, a diferença entre o termo mais avançado e o outro é de 3 razões, ou 3d.
a8 - a5 = 3d
Fórmula da relação entre dois termos de uma PA
an - am = (n - m)d
Exemplo
Relacione dois termos de uma PA, considerando que um seja o segundo termo e o outro o décimo termo.
O enunciado diz que devemos trabalhar com dois termos dessa PA, a2 e a10 .
As variáveis da fórmula são:
an, am, n, m, d
Onde:
an = a10
am = a2
n = 10
m = 2
Ficando assim:
a10 - a2 = (10 - 2)d
Ou seja:
a10 - a2 = 8d
Desse jeito conseguimos relacionar o segundo ao décimo termo da PA.
Exemplo
O sexto termo de uma PA é 70 e o décimo é 114. Qual a razão da PA?
Sabemos que:
a6 = 70
a10 = 114
Então substituímos na fórmula.
an - am = (n - m)d
a10 - a6 = (10 - 6)d
a10 - a6 = 4d
Obtivemos outra fórmula.
a10 - a6 = 4d
É só substituir pelos valores que conhecemos.
a10 - a6 = 4d
144 - 70 = 4d
44 = 4d
d = 44/4
d = 11
Resposta:
A razão dessa PA é 11.
Exemplo
Numa PA, o 13º termo é 29 e o 25º termo é 53. Calcule o valor do terceiro termo da PA.
Os dados que temos são:
a13 = 29
a25 = 53
a3 = ?
d = ?
Não sabemos qual é a razão. Vamos encontrá-la primeiro relacionando os termos dados.
an - am = (n - m)d
a25 - a13 = (25 - 13)d
a25 - a13 = 12d
Vamos substituir os valores pelos que já conhecemos:
a25 - a13 = 12d
53 - 29 = 12d
24 = 12d
d = 2412
d = 2
Agora que já sabemos que a razão dessa PA é 2, vamos relacionar um dos termos conhecidos, a13 ou a25 com o termo que procuramos, que no caso é a3.
an - am = (n - m)d
a13 - a3 = (13 - 3)d
a13 - a3 = 10d
29 - a3 = 10*2
29 - a3 = 20
29 - 20 = a3
9 = a3
Achamos a3 relacionando com o 13º termo dessa PA. Se fizéssemos com o 25º termo encontraríamos a resposta também. Veja:
an - am = (n - m)d
a25 - a3 = (25 - 3)d
a25 - a3 = 22d
53 - a3 = 22*2
53 - a3 =44
53 - 44 = a3
9 = a3
Resposta:
O 13º termo dessa PA é 9.
Por enquanto faça os exercícios abaixo. A próxima publicação será sobre PG e mais tarde voltaremos a ver mais exemplos com exercícios de PA para destrinchar esse assunto de uma vez.
Exercícios
1) O primeiro termo de uma PA é 2 e o quinto é 16. Calcule a Razão dessa PA e escreva seus 5 primeiros termos.
2) O terceiro termo de uma PA é 22 e o oitavo é 52. Calcule o vigésimo termo.
3) Num certo país, o primeiro presidente iniciou o seu mandato em 1870 e governou por 6 anos assim como seus sucessores. Em qual governo encontra-se atualmente esse país?
Respostas
Exercício 1
Vamos separar os dados que o enunciado nos deu:
a1 = 2
a5 = 16
d = ?
A primeira coisa pedida é que se calcule a razão.
an - am = (n - m)d
a5 - a1 = (5 - 1)d
a5 - a1 = 4d
16 - 2 = 4d
14 = 4d
d = 14/4
d = 3,5
A razão dessa PA é 3,5. Agora ficou fácil escrever os 5 primeiros termos.
a1 + d = a2
2 + 3,5 = a2
5,5 = a2
a2 + d = a3
5,5 + 3,5 = a3
9 = a3
a3 + d = a4
9 + 3,5 = a4
12,5 = a4
Resposta:
A razão dessa PA é 3,5 e seus 5 primeiros termos são: 2; 5,5; 9; 12,5 e 16.
Exercício 2
A primeira coisa é sempre separar os dados que o enunciado dá para podermos organizar as idéias.
a3 = 22
a8 = 52
a20 = ?
d = ?
Vamos relacionar os termos conhecidos para acharmos a Razão da PA.
an - am = (n - m)d
a8 - a3 = (8 - 3)d
a8 - a3 = 5d
52 - 22 = 5d
30 = 5d
d = 30/5
d = 6
Agora que já sabemos que a razão dessa PA é 6, vamos relacionar um dos termos conhecidos, a3 ou a8 com o termo que procuramos, que no caso é a20.
an - am = (n - m)d
a20 - a3 = (20 - 3)d
a20 - a3 = 17d
a20 - 22 = 17*6
a20 - 22 = 102
a20 = 102 + 22
a20 = 124
Não é necessário fazer com a8, nós já achamos a resposta. No entanto eu farei como exemplo de que o resultado será o mesmo.
an - am = (n - m)d
a20 - a8 = (20 - 8)d
a20 - a8 = 12d
a20 - 52 = 12*6
a20 - 52 =72
a20 = 72 + 52
a20 = 124
Resposta:
O vigésimo termo dessa PA é 124.
Exercício 3
Vamos analisar o enunciado:
"o primeiro presidente iniciou o seu mandato em 1870"
Isso quer dizer que:
a1 = 1870
"governou por 6 anos assim como seus sucessores"
d = 6
Pois há mudança de governante a cada 6 anos.
"Em qual governo encontra-se atualmente esse país?"
Bom, nesse caso responderei com base no ano em que foi feita essa publicação, ou seja, 2011.
an = 2011
Porque an = 2011? Lembra da publicação anterior sobre PA? Lá eu mostro a fórmula do Termo Geral em que "an" representa o último termo de uma PA.
É essa fórmula que iremos usar.
an = a1 + (n – 1) . r
Lembre-se de que r ou d representam a Razão em uma PA.
2011 = 1870 + (n - 1).6
2011 - 1870 = (n - 1).6
141 = (n - 1).6
141 = 6n - 6
141 + 6 = 6n
147 = 6n
n = 148/6
n = 24,5
Esse país encontra-se atualmente em meio ao mandato do 24º presidente.
Resposta:
Encontra-se no 24º governo.
