As progressões são sequências numéricas com propriedades matemáticas. No caso da progressão aritmética, chamada comumente de PA, será uma sequência de números onde cada termo (exceto o primeiro) é resultado da soma do termo anterior com uma constante chamada de razão. Sempre que se tenta explicar algo em matemática parece que fica meio vago e é por isso que veremos exemplos que deixarão claro o que foi dito acima.
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Veja por exemplo a sequência abaixo:
PA = {3, 6, 9, 12, 15}
Nessa PA a constante, que é chamada de razão da PA, é 3.
Eu sei disso porque, como diz o enunciado, uma PA é uma sequência de números onde cada termo, exceto o primeiro, é resultado da soma do termo anterior com uma constante chamada razão.
Para saber qual é a razão dessa PA basta usar a lógica. A operação inversa a soma é a subtração e em certo trecho diz que "cada termo, exceto o primeiro, é resultado da soma do termo anterior", se eu pegar o último termo na PA e subtrair do termo anterior irei achar a razão.
15 - 12 = 3
Se eu pegar o penúltimo termo e subtrair com o termo anterior irei achar a razão.
12 - 9 = 3
Se eu pegar o antepenúltimo termo e subtrair do termo anterior irei achar a razão.
9 - 6 = 3
E assim por diante.
Existem 3 tipos:
Crescente
PA={ 1, 4, 7, 10, 13, 16}
Razão = 3
Decrescente
PA={ 7, 4, 1, -2, -5, -8}
Razão = -3
Constante
PA= (45, 45, 45, 45, 45}
Razão = 0
an = a1 + (n – 1) . r
Essa fórmula serve para acharmos o enésimo termo em uma PA.
Enésimo é palavra derivada de "n", uma variável que pode assumir qualquer valor desejado. Na matemática usa-se o termo "n" para representar algo que pode assumir qualquer valor dentro de um universo.
Como ler a fórmula?
an é o último termo da PA
a1 é o primeiro termo de uma PA
n é o número total de termos em uma PA
r é razão de uma PA
Por exemplo:
PA = {3, 5, 7, 9}
an = 9
a1 = 3
n = 4
r = 2
Uma PA também poderia ser representada assim:
PA = {a1, a2, a3, a4}
Onde, nesse caso:
a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7
a4 = 9
Vamos a um exemplo prático envolvendo problemas.
Exemplo
Numa PA de 7 termos, o primeiro termo é 6 e o segundo é 10. Qual é o último termo dessa PA?
A primeira coisa, como sempre, é separar os dados importantes do problema. Sabemos que serão 7 termos no total, então:
n = 7
O enunciado diz que o primeiro termo é 6:
a1 = 6
E o segundo termo é 10:
a2 = 10
Esse segundo termo da PA será importante para acharmos a razão.
A razão é a diferença entres os termos da PA, e muitas vezes identificada pela letra "d", justamente por tratar-se da diferença entre os termos.
Portanto:
a2 - a1 = r
10 - 6 = 4
r = 4
Montamos então a fórmula:
an = a1 + (n - 1).r
Substituindo os valores:
an = 6 + (7 - 1).4
Ficou fácil, é só resolver:
an = 6 + 24
an = 30
Resposta:
O último termo dessa PA é 30
Essa é a primeira parte sobre progressões ariméticas, uma introdução para relembrar o básico. Haverão outras publicações e obviamente a tendência é sair desse nível infantil para um nível de vestibular. Por hora, faça os exercícios abaixo.
Exercícios
1) Numa PA de 5 termos, o último termo é -20 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PA.
2) Numa PA temos a4 = 183 e a5 = 200. Calcule d.
3) Numa PA temos a3 = 13 e a6 = 25. Calcule a1.
Respostas
Sabemos que:
n = 5
an = -20
r = -3
Precisaremos descobrir a1 e para isso usaremos a fórmula.
an = a1 + (n -1).r
-20 = a1 + (5 - 1).(-3)
-20 = a1 - 12
-20 + 12 = a1
-8 = a1
Descobrimos que o primeiro termo dessa PA é -8 e agora podemos montá-la.
Resposta:
PA = {-8, -11, -14, -17, -20}
Bom, eu já havia explicado que a razão também pode ser indicada pela letra d.
Os dados que temos do enunciado são:
a4 = 183
a5 = 200
Muito fácil calcular, já que os dois termos dados são consecutivos basta subtrair o a5 pelo a4 para achar a razão.
a4 - a5 = d
183 - 200 = d
d = 17
Resposta:
d é igual a 17
Os dados que temos nesse enunciado são:
a3 = 13
a6 = 25
Não sabemos:
an = ?
n = ?
r = ?
a1 = ?
Ou seja, o enunciado não nos deu dados diretos, apenas dicas.
Sabemos que para achar a razão temos que subtrair dois termos consecutivos da PA.
Usando a lógica:
Quantos termos existem entre a3 e a6?
Sabemos que existem 3 termos e a partir daí podemos elaborar um raciocínio.
Se subtrairmos o maior termo pelo menor, ou seja a6 - a3 encontraremos 12.
a6 - a3 = ?
25 - 13 = 12
Como existe uma diferença de 3 termos entre a6 e a3, pegamos o resultado e dividimos por 3.
12 ÷ 3 = 4
Essa é a razão da PA e com ela podemos achar os demais termos.
a3 - r = a2
13 - 4 = 9
a2 - r = a1
9 - 4 = 5
Encontramos o resultado.
Resposta:
Nessa PA, o termo a1 é 5
