Já foram mostradas diversas situações que envolvem probabilidades. Probabilidades - Parte I, Parte II e Parte III. Foi visto que a probabilidade de satisfazer sucessivas exigências é o produto das probabilidades de satisfazer cada uma delas. Ao multiplicarmos essas probabilidades, que no máximo são iguais a 1, geralmente obtemos a todas as exigências feitas. Vamos ver agora, situações em que duas ou mais probabilidades devem ser somadas.
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Concurseiro
1º Exemplo
A classe de um curso qualquer tem 16 alunos. Deles, 3 têm 26 anos, 4 têm 37 anos e 9 têm 38 anos de idade. Se escolhermos dois alunos ao acaso, qual a probabilidade de ambos possuírem a mesma idade?
Para resolver isso vamos simular um sorteio onde são colocados papéizinhos num saco, cada um com a idade de cada aluno. Depois retiramos ao acaso dois destes papéizinhos.
No primeiro sorteio, todos os papéizinhos são considerados resultados favoráveis.
Resultados favoráveis: 16
No segundo sorteio estarão 15 papéizinhos no saco. Precisamos que o segundo papelzinho contenha a mesma idade do retirado no primeiro sorteio.
Nesse segundo sorteio, quantos são os resultados favoráveis?
Não dá para saber ao certo, podemos então trabalhar com hipóteses. Veja:
- Se no primeiro sorteio saiu um papelzinho com a idade de 26 anos anotada, então dos 15 papéizinhos restantes no saco, apenas 2 têm anotados 26 anos também;
- Se no primeiros sorteio saiu um papelzinho com a idade de 37 anos anotada, então dos 15 papéizinhos restantes no saco, apenas 3 têm anotados 37 anos também;
- Se no primeiro sorteio saiu um papelzinho com a idade de 38 anos anotada, então dos 15 papéizinhos restantes no saco, apenas 8 têm anotados 38 anos também;
Tendo analisado dessa forma, podemos ver então que no segundo sorteio poderemos ter 2, 3 ou 8 resultados favoráveis. Vai depender do que aconteceu no primeiro sorteio. Sendo assim, a única maneira de resolvermos isso é separando os resultados favoráveis em grupos e depois somando-os.
Primeira probabilidade (Ter sido sorteado primeiro um papelzinho anotado 26 anos) :
P1 = 3/16 x 2/15 = 6/240
Segunda probabilidade (Ter sido sorteado primeiro um papelzinho anotado 37 anos) :
P2 = 4/16 x 3/15 = 12/240
Terceira probabilidade (Ter sido sorteado primeiro um papelzinho anotado 38 anos) :
P3 = 9/16 x 8/15 = 72/240
Agora é só somar:
P1 + P2 + P3
6/240 + 12/240 + 72/240 = 90/240
90/240 Simplificando: 3/8
Não lembra como simplificar frações? Veja em Simplificação, Operações e Tipo de Frações.
Conseguimos chegar à resposta. A probabilidade de serem escolhidos 2 alunos da mesma idade é de 3/8.
2º Exemplo
A probabilidade de sair o número 5 no lançamento de um dado preparado é de 1/6; a de sair o número 4 é 1/4; e a de sair cada um dos números de 1 a 3 é de 1/12. Num lançamento desse dado, qual a probabilidade de sair o número 6?
OBS: Dado preparado é um dado que foi modificado para favorecer algum resultado.
- Sabemos que a probabilidade de sair um número 5 é de 1/6;
- Sabemos que a probabilidade de sair um número 4 é de 1/4;
- Sabemos que a probabilidade de sair um número 3 é de 1/12;
- Sabemos que a probabilidade de sair um número 2 é de 1/12;
- Sabemos que a probabilidade de sair um número 1 é de 1/12;
Vamos somar essas probabilidades.
1/6 + 1/4 + 1/12 + 1/12 + 1/12 = 8/12
Não lembra como realizar operações com frações? Veja em Simplificação, Operações e Tipo de Frações.
8/12 Simplificando: 2/3
A única informação que não temos é de qual a probabilidade de sair o número 6 no lançamento desse dado, mas sabemos que a probabilidade de sair um número de 1 à 6 no lançamento desse dado é de 100% ou 1/1.
Portanto:
P(Sair nº6) = 1/1 - 2/3 = 1/3
A probabilidade de sair o número 6 no lançamento desse dado é de 1/3.
Essa foi a última publicação sobre probabilidades. Agora teste seu aprendizado com o exercício abaixo.
Exercício
1) Em um saco foram colocados 1000 papéizinhos, cada qual com um dos números de 1 a 1000. Sorteando um deles, qual a probabilidade de sair um papelzinho com um número que seja divisível por 3 ou por 7?
a) 520/1000
b) 48,7%
c) 486/1000
d) 42,8%
Respostas
Exercício 1
A cada 3 números consecutivos um deles é divisível por 3. Sendo assim:
1000 ÷ 3 = 333,33...
O resultado acima indica que são 333 números divididos por 3 entre 1 e 1000. Portanto:
P1 = P(divisível por 3) = 333/1000
Com a mesma linha de pensamento vejamos que a cada 7 números um deles é divisível por 7. Sendo assim:
1000 ÷ 7 = 142,82
O resultado acima indica que são 142 números divididos por 7 entre 1 e 1000.
Portanto:
P2 = P(divisível por 7) 142/1000
Agora sabemos quantos são os números divisíveis por 3 e por 7, mas o enunciado questiona quantos são os números divisíveis por 3 ou por 7.
Observe que existem números que são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo e que estão nesses dois conjuntos, como por exemplo: 21, 42, 63, etc.
Se ao somarmos P1 + P2 considerarmos esses números estaremos contando-os duas vezes.
Dessa forma, para acharmos o resultado teremos que somar os números divisíveis por 3 com os números divisíveis por 7 e subtrair os números que são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo.
Para sabermos quais são os números divisíveis por 3 e por 7 a mesmo tempo façamos.
3 x 7 = 21
1000 ÷ 21 = 47,61
O resultado acima indica que são 47 números divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo entre 1 e 1000.
Portanto:
P3 = P(divisível por 21) = 47/1000
Agora sim podemos finalmente realizar a operação.
P1 + P2 - P3 = 333/1000 + 142/1000 - 47/1000 = 428/1000
O resultado 428/1000 é igual a 42,8%, portanto a resposta é a letra 'd'.
