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Regra de três

Nas publicações sobre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais foram resolvidos problemas envolvendo regra de três simples. Veremos como resolver problemas que exijam o uso da regra de três composta e para isso seguiremos alguns exemplos.

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Concurseiro

1º Exemplo

Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia, realizará o mesmo trabalho em quantos dias?

Agora veremos uma forma de resolver isso através de alguns passos.

1º) Fazer a disposição dos dados do problema.

Toques por minutos
Horas por dia
Dias
60
6
10
50
4
x

2º) Comparar as grandezas com a incógnita e verificar se são direta ou inversamente proporcionais..

Quanto menor for a quantidade de toques por minuto, mais dias levará para concluir o trabalho. Portanto, trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.

Quanto menor for a quantidade de horas trabalhadas por dia, mais dias serão necessários para concluir o trabalho. Portanto trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.

Em ambas as comparações percebemos que tratam-se de grandezas inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.

Toques por minutos
Horas por dia
Dias
50
4
10
60
6
x

4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.

Toques por minutos
Horas por dia
Dias
50
4
10
60
6
x

Agora é só resolver:

x =  60 * 6 * 10  = 18 dias
           50 * 4

A resposta é:

A segunda pessoa levará 18 dias para executar o mesmo trabalho.

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2º Exemplo

Quatro máquinas produzem 32 peças em 8 dias. Quantas peças iguais as primeiras serão produzidas por 10 máquinas em 6 dias?

Vamos seguir as mesmas etapas que foram usadas no primeiro exemplo.

1º) Montemos a tabela.

Máquinas
Peças
Dias
4
32
8
10
x
6

Agora observe algum muito importante. Sempre que a incógnita estiver no meio da tabela, nós deveremos deslocá-la para o canto, veja:

Máquinas
Dias
Peças
4
8
32
10
6
x

2º) Vamos comparar as grandezas com a incógnita para descobrir se são direta ou inversamente proporcionais.

Quanto maior a quantidade de máquinas, maior será a quantidade de peças. Portanto, trata-se de uma grandeza diretamente proporcional.

Quanto maior a quantidade de dias trabalhados, maior será a quantidade de peças produzidas. Portanto, trata-se de uma grandeza diretamente proporcional.

Em ambas as comparações percebemos que tratam-se de grandezas diretamente proporcionais.

3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.

Como estamos lidando com grandezas diretamente proporcionais não precisaremos inverter nada. Fica tudo com está.

4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.

Máquinas
Dias
Peças
4
8
32
10
6
x

Agora é só resolver:


x =  10 * 6 * 32  = 60 Peças

            4 * 8

A resposta é:


Serão produzidas 60 peças em 6 dias.

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3º Exemplo

Uma máquina que funciona 8 horas por dia produz por mês 20000 peças. Quantas horas de funcionamento diário dessa máquina serão necessárias para produzir 2000 peças em 6 dias?

1º) Montemos a tabela de acordo com o problema exposto.

Peças
Dias
Horas
20000
30
8
2000
6
x

2º) Fazemos a comparação das grandezas com a incógnita para determinar se são direta ou inversamente proporcionais.

Veja só, se trabalhando 8 horas por dia durante 30 dias são produzidas 20000 peças, então quer dizer que por dia são produzidas em média 666 peças.

20000 ÷ 30 = 666

Na verdade essa divisão não dá um valor exato e sim uma dízima, mas o que importa é saber aproximadamente quantas peças são produzidas por dia para procedermos ao cálculo seguinte.

Sendo assim, trabalhando 8 horas por dia em 6 dias serão produzidas em média 3996 peças.

666 * 6 = 3996

Fazendo essa conta, já foi possível perceber que para produzir 2000 peças em 6 dias seria necessário diminuir a quantidade de horas trabalhadas por dia, pois em um turno de 8 horas diárias, seriam produzidas 3996 peças ao final do sexto dia.

Comparando a quantidade de peças com a incógnita vemos que se trata de uma grandeza diretamente proporcional, pois menos peças produzidas é igual a menos horas trabalhadas.

Comparando a quantidade de dias com a incógnita veremos que, para produzir a mesma quantidade de peças (20000) com menos dias (6) teríamos que aumentar as horas trabalhadas. Portanto trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.

Tendo feito essas duas comparações, podemos perceber que esse problema envolve grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais ao mesmo tempo.

3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.

Como a quantidade de peças comparadas com a quantidade de horas revelou uma grandeza diretamente proporcional, deveremos manter os valores na coluna peças como estão.

Como a quantidade de dias comparado com a quantidade de horas revelou uma grandeza inversamente proporcional, deveremos inverter os valores da coluna dias.

Peças
Dias
Horas
20000
6
8
2000
30
x

4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.

Peças
Dias
Horas
20000
6
8
2000
30
x

Agora é só resolver:

x =  2000 * 30 * 8  = 4
          20000 * 6

A resposta é:


Deverá funcionar 4 horas por dia.

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Teste o seu conhecimento, faça o exercício a seguir.

Exercício

1) Duas pessoas fazem 1/4 de certo trabalho em uma construção em 8 dias de 9 horas. Em quanto tempo, 4 pessoas trabalhando 6 horas por dia poderão fazer o trabalho completo?

a) 44 dias
b) 36 dias
c) 72 dias
d) 24 dias
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Respostas

Exercício 1

Começamos montando a tabela.

Pessoas
Trabalho
Horas
Dias
2
1/4
9
8
4
4/4
6
x

OBS: Existe uma grandeza fracionária, como ambas possuem o mesmo denominador podemos descartá-los. Se os denominadores fossem diferentes bastaria igualá-los e depois sim descartá-los.

Não lembra como igualar os denominadores de uma fração? Veja isso em Simplificação, Operações e Tipos de Frações

Pessoas
Trabalho
Horas
Dias
2
1
9
8
4
4
6
x

Agora vamos analisar o problema.

Se compararmos a quantidade de pessoas com a quantidade de dias, notaremos que trata-se de uma grandeza inversamente proporcional, pois quanto mais pessoas trabalhando na obra, menos dias serão necessários para concluí-la.

Se compararmos a quantidade de trabalho a ser feito com a quantidade de dias necessários, veremos que trata-se de uma grandeza diretamente proporcional, pois quanto mais trabalho tiver para ser feito, mais dias serão necessários para concluí-lo.

Se compararmos a quantidade de horas com a quantidade de dias necessários, veremos que trata-se de uma grandeza inversamente proporcional, pois quanto menos horas trabalhadas, mais dias serão necessários para a conclusão da obra.

Sabendo dessas informações, montemos a tabela que irá nos auxiliar no cálculo.

Dessa forma, a coluna "Pessoas" deverá ter seus valores invertidos, por tratar-se de uma grandeza inversamente proporcional em relação à incógnita do problema.

A coluna "Trabalho" deverá permanecer como está. Por tratar-se de uma grandeza diretamente proporcional em relação à incógnita do problema.

A coluna "Horas" deverá ter seus valores invertidos, por tratar-se de uma grandeza inversamente proporcional em relação à incógnita.

A tabela ficará assim:

Pessoas
Trabalho
Horas
Dias
4
1
6
8
2
4
9
x

Agora é só calcular:

x =  2 * 4 * 9 * 8  = 24

          4 * 1 * 6

Como você dever ter percebido, esse tipo de problema envolve mais raciocínio e interpretação do que cálculo propriamente dito.

A resposta é a letra'd'.

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