Nas publicações sobre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais foram resolvidos problemas envolvendo regra de três simples. Veremos como resolver problemas que exijam o uso da regra de três composta e para isso seguiremos alguns exemplos.
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Concurseiro
1º Exemplo
Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia, realizará o mesmo trabalho em quantos dias?
Agora veremos uma forma de resolver isso através de alguns passos.
1º) Fazer a disposição dos dados do problema.
2º) Comparar as grandezas com a incógnita e verificar se são direta ou inversamente proporcionais..
Quanto menor for a quantidade de toques por minuto, mais dias levará para concluir o trabalho. Portanto, trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.
Quanto menor for a quantidade de horas trabalhadas por dia, mais dias serão necessários para concluir o trabalho. Portanto trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.
Em ambas as comparações percebemos que tratam-se de grandezas inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.
4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.
Agora é só resolver:
x = 60 * 6 * 10 = 18 dias
50 * 4
A resposta é:
A segunda pessoa levará 18 dias para executar o mesmo trabalho.
2º Exemplo
Quatro máquinas produzem 32 peças em 8 dias. Quantas peças iguais as primeiras serão produzidas por 10 máquinas em 6 dias?
Vamos seguir as mesmas etapas que foram usadas no primeiro exemplo.
1º) Montemos a tabela.
Agora observe algum muito importante. Sempre que a incógnita estiver no meio da tabela, nós deveremos deslocá-la para o canto, veja:
2º) Vamos comparar as grandezas com a incógnita para descobrir se são direta ou inversamente proporcionais.
Quanto maior a quantidade de máquinas, maior será a quantidade de peças. Portanto, trata-se de uma grandeza diretamente proporcional.
Quanto maior a quantidade de dias trabalhados, maior será a quantidade de peças produzidas. Portanto, trata-se de uma grandeza diretamente proporcional.
Em ambas as comparações percebemos que tratam-se de grandezas diretamente proporcionais.
3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.
Como estamos lidando com grandezas diretamente proporcionais não precisaremos inverter nada. Fica tudo com está.
4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.
Agora é só resolver:
x = 10 * 6 * 32 = 60 Peças
4 * 8
A resposta é:
Serão produzidas 60 peças em 6 dias.
3º Exemplo
Uma máquina que funciona 8 horas por dia produz por mês 20000 peças. Quantas horas de funcionamento diário dessa máquina serão necessárias para produzir 2000 peças em 6 dias?
1º) Montemos a tabela de acordo com o problema exposto.
2º) Fazemos a comparação das grandezas com a incógnita para determinar se são direta ou inversamente proporcionais.
Veja só, se trabalhando 8 horas por dia durante 30 dias são produzidas 20000 peças, então quer dizer que por dia são produzidas em média 666 peças.
20000 ÷ 30 = 666
Na verdade essa divisão não dá um valor exato e sim uma dízima, mas o que importa é saber aproximadamente quantas peças são produzidas por dia para procedermos ao cálculo seguinte.
Sendo assim, trabalhando 8 horas por dia em 6 dias serão produzidas em média 3996 peças.
666 * 6 = 3996
Fazendo essa conta, já foi possível perceber que para produzir 2000 peças em 6 dias seria necessário diminuir a quantidade de horas trabalhadas por dia, pois em um turno de 8 horas diárias, seriam produzidas 3996 peças ao final do sexto dia.
Comparando a quantidade de peças com a incógnita vemos que se trata de uma grandeza diretamente proporcional, pois menos peças produzidas é igual a menos horas trabalhadas.
Comparando a quantidade de dias com a incógnita veremos que, para produzir a mesma quantidade de peças (20000) com menos dias (6) teríamos que aumentar as horas trabalhadas. Portanto trata-se de uma grandeza inversamente proporcional.
Tendo feito essas duas comparações, podemos perceber que esse problema envolve grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais ao mesmo tempo.
3º) Montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem diretamente proporcionais, a montagem conserva-se, se forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores.
Como a quantidade de peças comparadas com a quantidade de horas revelou uma grandeza diretamente proporcional, deveremos manter os valores na coluna peças como estão.
Como a quantidade de dias comparado com a quantidade de horas revelou uma grandeza inversamente proporcional, deveremos inverter os valores da coluna dias.
4º) Marque a linha e a coluna em que estiver a incógnita. O valor da incógnita será igual ao resultado da multiplicação dos valores que estiverem na mesma linha e coluna dessa incógnita dividido pelo resultado da multiplicação dos valores que não estiverem na mesma linha e coluna da incógnita.
Agora é só resolver:
x = 2000 * 30 * 8 = 4
20000 * 6
A resposta é:
Deverá funcionar 4 horas por dia.
Teste o seu conhecimento, faça o exercício a seguir.
Exercício
1) Duas pessoas fazem 1/4 de certo trabalho em uma construção em 8 dias de 9 horas. Em quanto tempo, 4 pessoas trabalhando 6 horas por dia poderão fazer o trabalho completo?
a) 44 dias
b) 36 dias
c) 72 dias
d) 24 dias
Respostas
Exercício 1
Começamos montando a tabela.
OBS: Existe uma grandeza fracionária, como ambas possuem o mesmo denominador podemos descartá-los. Se os denominadores fossem diferentes bastaria igualá-los e depois sim descartá-los.
Não lembra como igualar os denominadores de uma fração? Veja isso em Simplificação, Operações e Tipos de Frações
Agora vamos analisar o problema.
Se compararmos a quantidade de pessoas com a quantidade de dias, notaremos que trata-se de uma grandeza inversamente proporcional, pois quanto mais pessoas trabalhando na obra, menos dias serão necessários para concluí-la.
Se compararmos a quantidade de trabalho a ser feito com a quantidade de dias necessários, veremos que trata-se de uma grandeza diretamente proporcional, pois quanto mais trabalho tiver para ser feito, mais dias serão necessários para concluí-lo.
Se compararmos a quantidade de horas com a quantidade de dias necessários, veremos que trata-se de uma grandeza inversamente proporcional, pois quanto menos horas trabalhadas, mais dias serão necessários para a conclusão da obra.
Sabendo dessas informações, montemos a tabela que irá nos auxiliar no cálculo.
Dessa forma, a coluna "Pessoas" deverá ter seus valores invertidos, por tratar-se de uma grandeza inversamente proporcional em relação à incógnita do problema.
A coluna "Trabalho" deverá permanecer como está. Por tratar-se de uma grandeza diretamente proporcional em relação à incógnita do problema.
A coluna "Horas" deverá ter seus valores invertidos, por tratar-se de uma grandeza inversamente proporcional em relação à incógnita.
A tabela ficará assim:
Agora é só calcular:
x = 2 * 4 * 9 * 8 = 24
4 * 1 * 6
Como você dever ter percebido, esse tipo de problema envolve mais raciocínio e interpretação do que cálculo propriamente dito.
A resposta é a letra'd'.
