Na publicação anterior sobre matemática para concursos, foi explicado um pouco sobre juros simples. Nessa será falado sobre o cálculo do montante, que é o capital inicial acrescido de juros, preparando o terreno para poder mostrar também como calcular juros compostos.
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Concurseiro
Montante
Para calcular o montante temos a fórmula:
Onde:
M = Montante
C = Capital inicial
i = Taxa
n = Tempo
Vamos então aos exemplos, que são a forma mais fácil para o entendimento da matéria.
1º Exemplo
Determine o montante de um capital de R$ 600,00, aplicado durante 8 meses e com uma taxa de juros simples anual de 18%.
Vamos separar os dados:
M = ?
C = 600
i = 18%
n = 8
Vamos analisar a questão:
A taxa é anual, mas o tempo da aplicação está sendo contado em meses, portanto precisamos colocar os dois na mesma unidade de tempo para conseguirmos realizar a operação.
8/12
Onde 12 são os meses do ano.
Dizer 18% é o mesmo que 0,18 ou 18/100. Sendo assim vamos montar a fórmula.
M = C * (1 + i * n)
M = 600 * (1 + 18/100 * 8/12)
M = 600 * (1 + 144/1200)
M = 600 * (1 + 0,12)
M = 600 * 1,12
M = 672
Resposta:
O montante do capital de R$ 600,00 acumulado durante 8 meses a uma taxa de 18% é de R$ 672,00.
Com esse primeiro exemplo já podemos ver sobre os juros compostos e trabalhar mais com o cálculo de montantes.
Juros Compostos
Os juros compostos são aqueles que chamamos de juros sobre juros. Funciona da seguinte forma:
Imagine R$ 300,00 aplicados durante 3 meses em um investimento com uma taxa mensal de 3%.
Se considerarmos juros simples, o montante gerando no final do 3º mês seria de R$ 327,00.
O cálculo foi feito com a seguinte fórmula para cálculo de juros simples:
J = 300 * 0,03 * 3
J = 27
Para calcular o montante usei a fórmula:
M = 300 + 27
M = 327
Resposta: R$ 327,00
Seria o mesmo que dizer que foi aplicado 9% em cima do capital de R$ 300,00. O mesmo não acontece com os juros compostos.
Agora vamos considerar esse mesmo enunciado usando cálculo de juros composto.
Para calcular os juros compostos usamos a fórmula:
Calculando:
M = 300 * (1 + 0,03)3
O parênteses nos obriga a resolvê-lo primeiro, portanto:
M = 300 * 1,033
M = 300 * 1,092727
Lembre-se de que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais e que 1,03 é igual a 103/100, sendo assim:
103/100 * 103/100 * 103/100 = 1092727/1000000 ou 1,092727
Continuando:
M = 327,8181
Resposta: R$ 327,81
Essa diferença nos centavos apareceu porque o cálculo de juros composto de um mês é feito em cima do montante do mês anterior.
Explicação:
O capital inicial era R$ 300,00 e o juros aplicado no primeiro mês foi de 3%. Então no primeiro mês o rendimento dessa aplicação gerou um montante de R$ 309,00.
No segundo mês o juros ainda era de 3%, mas dessa vez ele seria calculado em cima do montante do mês anterior, ou seja, R$ 309,00. Isso gerou no segundo mês um montante de R$ 318,27.
No terceiro mês o cálculo foi de 3% de juros em cima do montante do mês anterior, que no final gerou um montante de R$ 327,81.
Com isso já deve ter ficado claro a diferença do cálculo do juros simples e do juros composto. Vamos então a mais exemplos.
2º Exemplo
Durante quanto tempo esteve aplicado em uma poupança, o capital de R$ 180.000,00 para render, de juros, a importância de R$ 22.248,00, se a taxa foi de 6% ao mês?
OBS:
Log de 1,1236 = 0,050611731
Log de 1,06 = 0,025305865
Vamos separar os dados:
C = 180000
J = 22248
i = 6%
n = ?
Vamos analisar os dados:
Sabemos que a fórmula para calcular o montante precisamos somar o capital inicial com os juros obtidos, portanto:
M = C + J
M = 180000 + 22248
M = 202248
Vamos calcular:
M = C * (1 + i)n
202248 = 180000 * (1 + 0,06)n
202248/180000 = 1,06n
Nesse ponto seremos obrigados a usar a propriedade dos logaritmos. Se quiser entender como funciona as propriedades dos logaritmos veja o vídeo abaixo, mas entender essa propriedade não tem tanta importância para esse caso, o que você deve entender é que é necessário isolar a incógnita, e é através desse artifício que faremos isso.
Continuando:
log 1,1236 = n * log 1,06
log 1,1236/log 1,06 = n
2 = n
Resposta:
Esteve aplicado durante 2 meses.
Tente resolver os exercícios a seguir. Somente assim você aprenderá de verdade.
Exercícios
1) Aplicou-se juros composto a um capital de R$ 1.400.000,00, a 4% ao mês, durante 3 meses. Determine o montante produzido nesse período.
a) R$ 1.574.809,00
b) R$ 1.074.809,24
c) R$ 1.574.849,80
d) R$ 1.574.809,60
2) Por quanto tempo devo aplicar um capital à taxa de 10% para que ele dobre de valor?
OBS: Auxilie-se pela tabela abaixo:
a) Mais de 7 e menos de 8 meses.
b) Mais de 12 e menos de 13 meses.
c) Mais de 6 e menos de 7 meses.
d) Mais de 16 e menos de 17 meses.
Respostas
Exercício 1
Vamos separar os dados:
M = ?
C = 1400000
i = 4%
n = 3 meses
Resolução:
M = C * (1+ i)n
M = 1400000 * (1+ 0,04)3
M = 1400000 * 1,043
M = 1400000 * 1,124864
M = 1574809,6
A resposta é letra 'd'.
Exercício 2
Vamos separar e analisar os dados:
O enunciado diz:
"Por quanto tempo devo aplicar um capital à taxa de 10% para que ele dobre de valor?"
Isso que dizer que o montante deverá ser o dobro do capital inicial, portanto:
M = 2C
O enunciado não diz de quanto é esse capital.
C = ?
A taxa aplicada será de 10%.
i = 10%
Mas o tempo da aplicação é o foco da questão.
n = ?
Sendo assim:
M = 2C
C = ?
i = 10%
n = ?
Resolução:
M = C * (1+ i)n
2C = C * (1+ 0,10)n
2C = C * 1,10n
2C/C = 1,10n
2 = 1,10n
Temos que empregar a propriedade dos logaritmos.
log 2 = n * log 1,10
Log 2/Log 1,1 = n
E agora temos que consultar a tabela.
0,30103/0,04139 = n
7,27 = n
A resposta é a letra 'a'
